Struktrur Aljabarb ( RING )

SOAL:    

Diketahui Q adalah himpunan semua bilangan rasional.

Didefinisikan operasi  sebagai operasi penjumlahan biasa, dan operasi  didefinisika sebagai  .

Selidiki apakah ( Q , ,  ) merupakan ring atau bukan !

BUKTI:

 Q himpunan bilangan rasional

Didefinisikan bahwa operasi biasa

                                    a b = 5 ab

apakah Q , ,  Ring?

i.                    Untuk operasi biasa grup

a.       Tertutup

Akan ditunjukkan  a,b Q ,  a b Q

a Q, b Q maka a b Q  tertutup

b.      Assosiatif

Akan ditunjukkan  a,b,c Q ,  (a b) c =  a (b c)

(a b) c =  a (b c)

a b c =  a b c,   maka berlaku asosiatif

c.       Identitas

Akan ditunjukkan  e Q sedemikian sehingga

a e = e a = a   a Q

misal: a e = a

                e = a – a 

                e = 0 , jadi elemen identitasnya adalah 0

d.      Invers

Akan ditunjukkan  a Q ,  a^-1 Q sedemikian sehingga

a  a^-1  = a^-1  a = e

misal:  a p = e

            a p = 0

                   p = 0 – a

                   p = - a

a Q mempunyai inver  - a Q maka dari a, b, c dan d  Q dengan operasi  adalah grup.

e.       Komutattif

a, b  maka a+b =  b+a

2. Adit a b = 5 ab Q semi group

a). Tertutup

a Q, b Q, 5 ab Q

maka a b Q, maka tertutup

b). Assosiatif

Akan ditunjukkan  a, b, c Q, (a b) c = a (b c)

(a b) c = a (b c)

(5ab) c= a (5bc)

5(5ab)c = 5a (5bc)

25 abc = 25 abc

Maka bersifat assosiatif dari a, b maka a b = 5 ab Q semi group

3. berlaku sifat distributif kiri dan kanan

     a , b ,c  berlaku

    a (b c) =  (a  b) (a c)

    a (b c) = 5 ab + 5ac

       5a ( b+c ) = 5 ab + 5 ac

      5 ab + 5ac = 5ab + 5ac                                                                                               

    (b c)  a =  (b  a) (c a)

      (b+c) x a = 5 ab + 5ac

         5a(b+c) = 5 ab + 5 ac

       5 ab + 5ac = 5 ab + 5 ac 

Sehingga ( Q , ,  ) merupakan ring