Skip to main content

metode numerik

Metode posisi palsu
Contoh:
Tentukan salah satu akar dari f(x) = exp(x) – 4x dengan menggunakan metode posisi palsu.
Penyelesaian:
Seperti pada metode bagi dua, karena tidak diberitahu batas intervalnya, dan dari gambar 3.4, misalkan diambil a = 0 dan b = 1 (alasannya f(a)*f(b) < 0).
Dengan menggunakan metode posisi palsu (secara manual) selesaiannya adalah sebagai berikut.
Iterasi 1
a=0, b = 1;
cek = 2*b – a = 2;
f(a) = exp(a) – 4a = exp(0) – 4*0 = 1
f(b) = exp(b) – 4b = exp(1) – 4*1 = -1.2817
c=b-f(b)(b-a)/(f(b)-f(a))=1- (-1.2817)*(1 – 0) / (-1.2817 – 1) = 0.4383
f(c) = exp(c) – 4c = exp(0.4383) – 4*0.4383 = -0.203047
f(a)*f(c) = -0.203047 < 0 maka b = c = 0.4383

Iterasi 2
a = 0, b = 0.4383
f(a) = 1
f(b) = -0.203047
c=b-f(b)(b-a)/(f(b)-f(a))= 0.4383 – (-0.203047) * (0.4383 – 0)/( -0.203047- 1) = 0.3643
f(c) = exp(c) – 4c = exp(0.3643) – 4*0.3643 = -0.017686
f(a)*f(c) = -0.017686 < 0 maka b = c = 0.3643

Iterasi 3
a = 0, b = 0.3643
f(a) = 1
f(b) = -0.017686
c=b-f(b)(b-a)/(f(b)-f(a))= 0.3643 – (-0.017686)* (0.3643 – 0) /(-0.017686 – 1)= 0.3580
f(c) = exp(c) – 4c = exp(0.3580) – 4*0.3580 = -0.001447
f(a)*f(c) =  -0.001447 < 0 maka b = c = 0.3580
dst.

Sampai iterasi ke tiga, maka hampiran akar = c = 0.3580
Iterasi 1
Iterasi 2
Iterasi 3
a
0
0
0
+1b
1
0.4383
0.3643
c
0.4383
0.3643
0.3580
f(a)*f(c)
-0.203047<0
-0.017686< 0


Have you ever wanted to link a simple “ about “ page from your blog ?
Or maybe you’d wanted a “ contact “ page that inherited your blog’a template ? well…
<!— more à

Rephson-newton

Contoh
Diketahui persamaan f(x) = ex – 4x;  Tentukan hampiran akar menggunakan x0 = 0 dan tol = 0.00001.
Penyelesaian:
Turunan pertama  f’(x) = ex – 4.
            x0 = 0, 
f(x0) = e0 – 4*0 = 1,     f’(x0) = e0 – 4 = -3,
x1 = x0 – f(x0)/f’(x0) = 0 – 1/(-3) = 0.333333
                        f(x1) = f(0.333333) = 0.062279 , f’(x1) = f’(0.333333) = -2.604388
            x2 = x1 – f(x1)/f’(x1) = 0.357246
                        f(x2) = f(0.357246) = 0.000402, f’(x2) = f’(0.357246) = -2.570612
            x3 = x2 – f(x2)/f’(x2) = 0.357403
                        f(x3) = f(0.357403) = 0.000000, f’(x3) = f’(0.357403) = -2.570388
            x4 = x3 – f(x3)/f’(x3) = 0.357403
Pada iterasi ketiga, dapat disimpulkan bahwa akarnya adalah 0.357403.

Soal no 2
Soal f(x)=x^3-3x^2-x+3
Carilah akar-akar persamaan dari fungsi diatas dengan menggunakan beberapa metode sebagai berikut :
a.  Metode Bisection, dengan nilai awal Xn = 2 dan Xn+1 =5.
b.  Metode Interpolasi, dengan nilai awal Xn = 2 dan Xn+1 = 5.
c. Metode Newton – Rapshon, dengan nilai Xi = -4
Pembahasan :
a. Metode Bisection dengan nilai awal Xn = 2 dan Xn+1 =5.
iterasi
Xn
Xn+1
Xt
f(Xn)
f(Xn+1)
f(Xt)
1
2
5
3.5
-3
48
5.625
2
2
3.5
2.75
-3
5.625
-1.64063
3
2.75
3.5
3.125
-1.64063
5.625
1.095703
4
2.75
3.125
2.9375
-1.64063
1.095703
-0.47681
5
2.9375
3.125
3.03125
-0.47681
1.095703
0.25589
6
2.9375
3.03125
2.984375
-0.47681
0.25589
-0.12354
7
2.984375
3.03125
3.007813
-0.12354
0.25589
0.062867
8
2.984375
3.007813
2.996094
-0.12354
0.062867
-0.03116
9
2.996094
3.007813
3.001953
-0.03116
0.062867
0.015648
10
2.996094
3.001953
2.999023
-0.03116
0.015648
-0.00781
11
2.999023
3.001953
3.000488
-0.00781
0.015648
0.003908
12
2.999023
3.000488
2.999756
-0.00781
0.003908
-0.00195
13
2.999756
3.000488
3.000122
-0.00195
0.003908
0.000977
14
2.999756
3.000122
2.999939
-0.00195
0.000977
-0.00049
b. Metode Interpolasi Linear dengan nilai awal Xn = 2 dan Xn+1 =5.
iterasi
Xn
Xn+1
X*
f(Xn)
f(Xn+1)
f(X*)
1
2
5
2.176471
-3
48
-3.07755
2
2.176471
5
2.346595
-3.07755
48
-2.94457
3
2.346595
5
2.499961
-2.94457
48
-2.62511
4
2.499961
5
2.629598
-2.62511
48
-2.19085
5
2.629598
5
2.733067
-2.19085
48
-1.72697
6
2.733067
5
2.811795
-1.72697
48
-1.29978
7
2.811795
5
2.869487
-1.29978
48
-0.94413
8
2.869487
5
2.910584
-0.94413
48
-0.66807
9
2.910584
5
2.939266
-0.66807
48
-0.46397
10
2.939266
5
2.958994
-0.46397
48
-0.31803
11
2.958994
5
2.972428
-0.31803
48
-0.21604
12
2.972428
5
2.981513
-0.21604
48
-0.14586
13
2.981513
5
2.987627
-0.14586
48
-0.09806
14
2.987627
5
2.99173
-0.09806
48
-0.06575
15
2.99173
5
2.994477
-0.06575
48
-0.044
16
2.994477
5
2.996314
-0.044
48
-0.02941
17
2.996314
5
2.997541
-0.02941
48
-0.01964
18
2.997541
5
2.99836
-0.01964
48
-0.01311
19
2.99836
5
2.998906
-0.01311
48
-0.00874
20
2.998906
5
2.999271
-0.00874
48
-0.00583
21
2.999271
5
2.999514
-0.00583
48
-0.00389
22
2.999514
5
2.999676
-0.00389
48
-0.00259
23
2.999676
5
2.999784
-0.00259
48
-0.00173
24
2.999784
5
2.999856
-0.00173
48
-0.00115
25
2.999856
5
2.999904
-0.00115
48
-0.00077
c. Metode Newton Raphson dengan nilai awal Xi = -4.
Turunan pertama dari f(x)=x^3-3x^2-x+3 adalah f’(x) = 3x^2-6x-1
iterasi
Xi
Xi+1
f(Xi)
f(Xi+1)
f’(X)
1
-4
-2.52113
-105
-29.5716
71
2
-2.52113
-1.63028
-29.5716
-7.67617
33.195
3
-1.63028
-1.17214
-7.67617
-1.56005
16.75515
4
-1.17214
-1.01851
-1.56005
-0.15018
10.15463
5
-1.01851
-1.00025
-0.15018
-0.00201
8.223197
6
-1.00025
-1
-0.00201
-3.8E-07
8.00302

Labels:

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Makalah KPK dan FPB

MENENTUKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK) DAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB)  DENGAN METODE EBIK A. PENDAHULUAN Pendidikan hendaknya mampu membentuk cara berpikir dan berprilaku anak yang positif. Tatanan berpikir yang ingin di bentuk adalah kemampuan berpikir logis, kritis, dan sistematis, sehingga dari kemampuan berpikir ini akan mengarahkan setiap orang khususnya siswa untuk berprilaku positif, terarah dan efektif. Matematika sebagai salah satu ilmu pengetahuan merupakan salah satu sarana untuk meningkatkan kemampuan berpikir setiap orang, oleh karena itu kesadaran untuk mampu mengetahui dan memahami matematika bagi siswa sangat diharapkan sudah bertumbuh sejak usia dini. Membentuk pemahaman yang utuh pada anak dalam pelajaran matematika diperlukan kecintaan terlebih dahulu terhadap matematika, oleh karena itu seorang pendidik hendaknya mampu menciptakan “Fun Learning” di dalam kelas. Fun learning pada matematika dapat tercipta apabila seorang guru mampu mengaj...
Post a Comment
Read more

Matematika Menurut NCTM

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) menyatakan bahwa pembelajaran matematika di sekolah dari jenjang pendidikan dasar hingga kelas XII  memerlukan standar pembelajaran yang berfungsi untuk menghasilkan siswa yang memiliki kemampuan berpikir, kemampuan penalaran matematis dan memiliki pengetahuan serta ketrampilan dasar yang bermanfaat. Menurut NCTM 2000, disebutkan bahwa terdapat lima kemampuan  dasar  matematika  yang  merupakan  standar  proses yakni pemecahan masalah (problem solving), penalaran dan bukti (reasoning and proof), komunikasi (communication), koneksi (connections) dan representasi (representation). Dengan mengacu pada lima standar kemampuan NCTM, maka dalam tujuan pembelajaran   matematika   menurut   Badan   Standar   Nasional.
2 comments
Read more

RPP Bahasa Indonesia Kelas 3 SD/MI - Kurikulum Merdeka ganjil

RPP I Bahasa Indonesia - Kelas 3 SD/MI Kurikulum: Merdeka Satuan Pendidikan: SD/MI Mata Pelajaran: Bahasa Indonesia Kelas/Semester: 3 / Genap Alokasi Waktu: 2 x 35 menit Topik/Modul Ajar: Membaca dan Menanggapi Cerita Anak Tujuan Pembelajaran Siswa dapat membaca cerita anak dengan lancar. Siswa dapat mengidentifikasi tokoh, latar, dan alur dalam cerita. Siswa dapat mengungkapkan pendapat tentang isi cerita secara lisan dan tertulis. Kegiatan Pembelajaran Pendahuluan (10 menit) Guru menyapa siswa dan membuka pembelajaran dengan salam dan doa. Apersepsi: Guru menanyakan buku cerita atau dongeng yang pernah dibaca siswa. Menyampaikan tujuan pembelajaran hari ini. Kegiatan Inti (50 menit) Eksplorasi: Guru membacakan satu cerita anak pendek (misalnya: “Kancil dan Buaya”) dengan intonasi yang tepat. Elaborasi: Siswa diminta membaca kembali secara bergiliran. Diskusi bersama: siapa tokoh utama, di mana latar cerita...
Post a Comment
Read more